Propiedades geométricas del pentágono regular

Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados y ángulos internos iguales. La suma de los ángulos internos de un pentágono regular vale (5-2)180° = 540° ó 3π rad.. Cada ángulo interno mide 108 grados ó 3π / 5 radianes. Así, por ejemplo (véase la figura), el ángulo BCD mide 108°.
Como los segmentos DE, EA, y AB son iguales, los arcos que ellos determinan en la circunferencia circunscrita son iguales. Esto implica que los tres ángulos DCE, ECA y ACB son iguales. Como la suma de ellos es 108°, cada uno de ellos mide 36°.
Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º ó 2π / 5 rad.

Relación con la razón dorada

Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón dorada, por ejemplo que

Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que

Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

Sustituyendo CE/CD por φ tenemos

en otras palabras φ − 1 = 1 / φ. Esta ecuación describe la razón dorada. φ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.
De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno de los otros lados es la razón dorada.