Rotacion de Pentagonos
En un post anterior mencionaba una curiosidad geométrica con la que me encontré mientras construia el logo del sitio. Básicamente consiste en disponer diez pentagonos regulares de manera que cada uno tenga dos lados adyacentes a otro; se trata de una disposición circular.
En efecto, si consideramos el punto J, intersección de las rectas portadoras de dos lados no-consecutivos; y giramos dicho pentágono en 36º, al décimo giro se obtiene el pentágono incial.
Dado que el ángulo de rotación es múltiplo de 360º, ésta disposición de pentágonos regulares se "cierra", procedimiento extrapolable a otros polígonos regulares.
Lo interesante está en que existe un pentágono mayor, que se puede construir tomando alternadamente los vértices de los pentágonos.
lunes, 30 de junio de 2008
Trazado de un pentágono
Observando en la figura anterior que el triángulo AMP es isósceles podemos construir el pentágono, inscrito a una circunferencia c (véase la figura) de la siguiente manera.
Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.
Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.
Algunas consideraciones sobre triángulos
Consideremos un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia El ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que
La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos
Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuacíon.
La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos
Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuacíon.
Propiedades geométricas del pentágono regular
Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados y ángulos internos iguales. La suma de los ángulos internos de un pentágono regular vale (5-2)180° = 540° ó 3π rad.. Cada ángulo interno mide 108 grados ó 3π / 5 radianes. Así, por ejemplo (véase la figura), el ángulo BCD mide 108°.
Como los segmentos DE, EA, y AB son iguales, los arcos que ellos determinan en la circunferencia circunscrita son iguales. Esto implica que los tres ángulos DCE, ECA y ACB son iguales. Como la suma de ellos es 108°, cada uno de ellos mide 36°.
Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º ó 2π / 5 rad.
Como los segmentos DE, EA, y AB son iguales, los arcos que ellos determinan en la circunferencia circunscrita son iguales. Esto implica que los tres ángulos DCE, ECA y ACB son iguales. Como la suma de ellos es 108°, cada uno de ellos mide 36°.
Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º ó 2π / 5 rad.
Relación con la razón dorada
Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón dorada, por ejemplo que
Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que
Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto
Sustituyendo CE/CD por φ tenemos
en otras palabras φ − 1 = 1 / φ. Esta ecuación describe la razón dorada. φ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.
De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno de los otros lados es la razón dorada.
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